11. Funktionen

Eine (totale) Funktion (oder Abbildung) ist eine Relation, die jedem Element des Definitionsbereichs genau ein Element des Wertebereichs zuordnet. Für partielle Funktionen ist “genau ein” durch “höchstens ein” zu ersetzen.

Schreibweise: f: M→N statt f⊂M×N und f(m) = n für < m,n >∈f.

Vokabeln

Das Bild einer Menge A⊆M unter einer Funktion f ist die Menge f(A) = {f(a)|a∈A}.

Das Urbild einer Menge N unter einer Funktion f:M→N ist die Menge f^-1(N) := {m∈M: f(m) ∈N}.

Vorsicht: Jede Menge hat unter jeder Funktion ein Urbild; im Allgemeinen ist aber die Umkehrrelation keine Funktion. Wenn man totale Funktionen will, sind nur für bijektive Funktionen auch die Umkehrrelationen wieder Funktionen.

f: M→N heißt

• surjektiv, wenn ∀n∈N∃m∈M: f(m) = n. N ist also gerade das Bild von M unter f.
• injektiv, wenn ∀m₁ ∈M∀m₂ ∈M: f(m₁) = f(m₂) ⇒m₁ = m₂, also nie zwei verschiedene Elemente von M das gleiche Bild haben. (Vgl. streng monotone Funktionen in der Analysis)
• bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Nicht surjektiv, nicht injektiv

surjektiv, nicht injektiv

surjektiv, injektiv: bijektiv